Question

Gọi H là trực tâm cảu tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) HA+HB+HC < AB+AC

b) HA+HB+HC <\(\dfrac{2}{3}\) (AB+BC+AC)

Answer 1

Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại E.

Ta có: \(\Delta ADH=\Delta HEA\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow AD=HE;AE=HD\)

Xét \(\Delta AHD\) có HA < HD + AD, do đó HA < AE + AD (1)

Vì HE//AC, mà \(AC\perp BH\Rightarrow HE\perp BH\)

Xét tam giác vuông HBE có HB < BE (2)

Vì HD//AB, mà \(AB\perp CH\Rightarrow HD\perp CH\)

Xét tam giác vuông HCD có HC < DC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

HA + HB + HC < (AE + EB) + ( AD + DC) =AB + AC

Vậy HA + HB + HC < AB + AC (4)

Tương tự: HA + HB + HC < AB + BC (5)

HA + HB + HC < AC + BC (6)

Từ (4), (5), (6) suy ra 3(HA + HB + HC) < 2(AB + AC + BC

Vậy HA + HB + HC < \(\dfrac{2}{3}\left(AB+AC+BC\right)\)