Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại E.
Ta có: \(\Delta ADH=\Delta HEA\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow AD=HE;AE=HD\)
Xét \(\Delta AHD\) có HA < HD + AD, do đó HA < AE + AD (1)
Vì HE//AC, mà \(AC\perp BH\Rightarrow HE\perp BH\)
Xét tam giác vuông HBE có HB < BE (2)
Vì HD//AB, mà \(AB\perp CH\Rightarrow HD\perp CH\)
Xét tam giác vuông HCD có HC < DC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
HA + HB + HC < (AE + EB) + ( AD + DC) =AB + AC
Vậy HA + HB + HC < AB + AC (4)
Tương tự: HA + HB + HC < AB + BC (5)
HA + HB + HC < AC + BC (6)
Từ (4), (5), (6) suy ra 3(HA + HB + HC) < 2(AB + AC + BC
Vậy HA + HB + HC < \(\dfrac{2}{3}\left(AB+AC+BC\right)\)
