Question

cho tam giác ABC ,kẻ AH vuông góc với BC ( H nằm giữa B và C) Kéo dài AH để có HD = HA .Nối DB,DC

a,C/m CA = CD

b, chứng minh tam giác ABC = tam giác DBC

c, chứng minh \(2.HA^2+HB^2+HC^2=\dfrac{1}{2}.\left(AB^2+BD^2+DC^2+CA^2\right)\)

Answer 1

a,Xét 2 tam giác vuông AHC và DHC có :

HC là cạnh chung

AH = HD ( gt )

=> tam giác AHC = tam giác DHC ( cv-cv )

=> CA = CD ( 2 cạnh tương ứng )

b,Xét tam giác ABC và tam giác DBC có :

CA = CD ( cmt )

Góc ACB = góc BCD ( do tam giác AHC = tam giác DHC )

BC là cạnh chung

=> tam giác ABC = tam giác DBC ( c-g-c )

c, ÁP dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác AHB vuông tại H

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

tam giác AHC vuông tại H

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

=> \(AB^2+AC^2=2.AH^2+HB^2+HC^2\)

Ta có : \(AB^2=BD^2,AC^2=DC^2\)

=> \(BD^2+DC^2=2.AH^2+HB^2+HC^2\)

=> \(AB^2+AC^2+DB^2+DC^2=2.AH^2+HB^2+HC^2\)

=> \(AH^2+HB^2+HC^2=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2+BD^2+DC^2\right)\)