Question

 Giúp mình câu 2, 3, 4

Answer 1

2. Hai tam giác vuông EAD và FCD bằng nhau (\(FC=EA;CD=AD\))

\(\Rightarrow\widehat{DEA}=\widehat{DFC}\) ; mà \(\widehat{DEA}=\widehat{EDC}\) (so le trong) 

\(\Rightarrow\widehat{DFC}=\widehat{EDC}\)

Lại có \(\Delta DFC\) vuông \(\Rightarrow\widehat{DFC}+\widehat{FDC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EDC}+\widehat{FDC}=90^0\Rightarrow\widehat{EDF}=90^0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}.\overrightarrow{DF}=0\)

Answer 2

3.

3.

\(DM=2CD=2a\Rightarrow AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=a\sqrt{5}\)

\(MH.MA=DM^2\Rightarrow MH=\dfrac{DM^2}{MA}=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MH}=MC.MH.cos\widehat{AMD}=a.\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}.\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{8a^2}{5}\)

b.

Hai điểm B và K cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn đường kính AC

\(\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{BCA}=45^0\) (cùng chắn  AB) (1)

Tương tự, hai điểm I và H cùng nhìn AD dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow AHID\) nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{DHI}=\widehat{DAI}=45^0\) (cùng chắn AI)

Mà \(\widehat{DHM}=90^0\Rightarrow\widehat{IHM}=\widehat{DHM}-\widehat{DHI}=45^0\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{IHM}\Rightarrow HI||BK\) (hai góc so le trong bằng nhau)

Answer 3

4.

Từ tọa độ ta có hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng có pt \(x+y-1=0\)

Kéo dài QM cắt BC tại E, nối CM cắt PQ tại F

Tam giác MQD vuông và có \(\widehat{QDM}=45^0\Rightarrow\Delta MQD\)  vuông cân

\(\Rightarrow QM=QD=EC\)

Mà \(MP=ME\) theo tính đối xứng của hv \(\Rightarrow\Delta_VMQP=\Delta_VECM\)

\(\Rightarrow\widehat{MQP}=\widehat{ECM}\)

Mà \(\widehat{FMQ}=\widehat{CME}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{MFQ}=\widehat{MEC}=90^0\)

\(\Rightarrow MF\perp PQ\)

Đường thẳng MF qua \(M\left(1;1\right)\) và vuông góc PQ có pt \(x+y-1=0\) nên nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình MF: \(1\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

C thuộc MF nên tọa độ C thỏa mãn: \(6-2c-c=0\Leftrightarrow c=2\Rightarrow C\left(2;2\right)\)