Question

Giúp em đưa ra lời giải chi tiết và dễ hiểu với bài này:

Cho phương trình \(2x^2+2\left(m-1\right)x+m^2-1=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân x₁,x₂ sao cho biểu thức \(P=\left(x_1-x_2\right)^2\) đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2\left(m^2-1\right)=-m^2-2m+3>0\)

\(\Rightarrow-3< m< 1\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(x_1-x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\)

\(P=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(P=\left(m-1\right)^2-4\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)\)

\(P=-m^2-2m+3=-\left(m^2+2m+1\right)+4\) 

\(P=-\left(m+1\right)^2+4\le4\)

\(P_{max}=4\) khi \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\) (thỏa mãn)