Question

giải phương trình:\(x^2+\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)

Answer 1

Có ĐKXĐ của phương trình đã cho là : (x+1)² ≠ 0

<=> x + 1 ≠ 0

<=> x ≠ -1

Với x ≠ -1 ta có phương trình đã cho

<=> \(\dfrac{\left(x+1\right)^2.x^2}{\left(x+1\right)^2}\) + \(\dfrac{x^2}{\left(x+1\right)^2}\) = \(\dfrac{5}{4}\)

<=> \(\dfrac{\left(x+1\right)^2.x^2+x^2}{\left(x+1\right)^2}\) = \(\dfrac{5}{4}\)

<=> \(\dfrac{\left[\left(x+1\right)^2+1\right].x^2}{\left(x+1\right)^2}\) = \(\dfrac{5}{4}\)

<=> \(\dfrac{\left(x^2+2.x+1+1\right).x^2}{x^2+2.x+1}\) = \(\dfrac{5}{4}\)

<=> 4.x² .(x² +2.x+1+1) = 5.(x² +2.x+1)

<=> 4.x⁴ + 8.x³ + 4.x² + 4.x² = 5.x² + 10.x + 5

<=> 4.x⁴ + 8.x³ + 4.x² + 4.x² - 5.x² - 10.x -5 = 0

<=> 4.x⁴ + 8.x³ + 3.x² - 10.x -5 = 0

<=> 4.x⁴ - 4.x³ + 12.x³ -12.x² + 15.x² - 15.x + 5.x-5 = 0

<=> 4.x³ .(x-1) + 12.x² .(x-1)+15x.(x-1) + 5.(x-1) = 0

<=> (4.x³ + 12.x² +15x+5).(x-1) = 0

<=> [4.x² .(x+3) + 15.(x+3)].(x-1) = 0

<=> (4x² + 15).(x+3).(x-1) = 0

<=> (x+3).(x-1) = 0 ( vì 4x² + 15 > 0 với mọi x)

<=> x+3 = 0 hoặc x-1 = 0

<=> x = -3 hoặc x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-3;1}