Question

Giả sử \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình \(x^2-ax+1=0\) Tính \(S=x_1^7+x_2^7\) theo a

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Viete suy ra với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(S=x_1^7+x_2^7=(x_1^3+x_2^3)(x_1^4+x_2^4)-x_1^3x_2^4-x_2^3x_1^4\)

\(=[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)][(x_1^2+x_2)^2-2x_1^2x_2^2]-x_1^3x_2^3(x_1+x_2)\)

\(=(a^3-3a)[((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2]-a\)

\(=(a^3-3a)[(a^2-2)^2-2]-a\)

\(=a^7-7a^5+14a^3-7a\)