Question

\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\) ≥ \(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)(1)

(2) \(\frac{a^5}{b^3}\)+\(\frac{b^5}{c^3}\)+\(\frac{c^5}{a^3}\) ≥ \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)
chứng minh bằng cosi
giúp mk với :<<<<

Answer 1

Chỉ đúng trong trường hợp các số thực dương (kì lạ là các bạn rất thích quên điều kiện này khi đăng đề lên)

a/ \(\frac{a^3}{b^2}+a\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}=\frac{2a^2}{b}\) ; \(\frac{b^3}{c^2}+b\ge\frac{2b^2}{c}\); \(\frac{c^3}{a^2}+c\ge\frac{2c^2}{a}\)

Cộng vế với vế:

\(VT+a+b+c\ge2VP\Rightarrow VT\ge2VP-\left(a+b+c\right)\)

Mà \(2VP=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow2VP\ge VP+a+b+c\)

\(\Rightarrow2VP-\left(a+b+c\right)\ge VP\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

Câu dưới tương tự:

\(\frac{a^5}{b^3}+a^2+a^2\ge\frac{3a^3}{b}\) , làm tương tự với 2 cái còn lại và cộng lại:

\(\Rightarrow VT+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)=3\left(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\right)\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)