Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

Đặt tổng S=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\), với n là số tự nhiên. CMR nếu n≥98 thì S>18. Khi n=98, CMR S không phải là số tự nhiên.

Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 6 2020 lúc 10:38

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(\Rightarrow S>1+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(\Rightarrow S>1+2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{2}\right)\)

Với \(n\ge98\Rightarrow S>1+2\left(\sqrt{99}-\sqrt{2}\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(1+2\left(\sqrt{99}-\sqrt{2}\right)>18\Leftrightarrow\sqrt{99}-\sqrt{2}>\frac{17}{2}\)

\(\Leftrightarrow101-2\sqrt{198}>\frac{298}{4}\Leftrightarrow\sqrt{198}< \frac{115}{8}\)

\(\Leftrightarrow198< \frac{13225}{64}\) (đúng vì \(\frac{13225}{64}>\frac{12800}{64}=200>198\))

Khi \(n=98\Rightarrow S>18\) theo cmt

Mặt khác: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{98}-\sqrt{97}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{98}-1\right)=2\sqrt{98}-1< 2\sqrt{100}-1=19\)

\(\Rightarrow18< S< 19\Rightarrow S\) nằm giữa 2 STN liên tiếp nên ko thể là STN


Các câu hỏi tương tự
oOo Min min oOo
Xem chi tiết
Như Trần
Xem chi tiết
Uchiha Itachi
Xem chi tiết
Uchiha Itachi
Xem chi tiết
Natsu Dragneel
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Lalisa Manobal
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết