a) Nếu \(2x^3-x^2+ax+b\) chia hết cho \(x^2-1\) thì:
\(2x^3-x^2+ax+b\)\(=\left(x^2-1\right)g\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)g\left(x\right)\).
Vì vậy \(2x^3-x^2+ax+b\) có hai nghiệm \(x=1,x=-1\).
Từ đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}2.1^3-1^2+a.1+b=0\\2.\left(-1\right)^3-\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-1\\-a+b=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=-2\end{matrix}\right.\).
Tương tự cho câu b và c.
d) \(x^4+x^3+ax^2+\left(a+b\right)x+2b+a\)
\(=x^4+ax^2+bx+a+b+x^3+ax+b\)
Từ phân tích trên suy ra nếu \(x^4+x^3+ax^2+\left(a+b\right)x+2b+a\) chia hết cho \(x^3+ax+b\) thì \(x^4+ax^2+bx+a+b\) chia hết cho \(x^3+ax+b\).
Vì vậy: \(x^4+ax^2+bx+a+b\) \(=\left(x^3+ax+b\right)g\left(x\right)\).
Do \(x^4+ax^2+bx+a+b\) có bậc 4 và \(x^3+ax+b\) có bậc 3 nên \(g\left(x\right)\) có bậc 1.
Suy ra: \(g\left(x\right)=x+c\).
Ta có:
\(x^4+ax^2+bx+a+b\)\(=\left(x^3+ax+b\right)\left(x+c\right)\) (1).
Hệ số của \(x^3\) trong tích \(\left(x^3+ax+b\right)\left(x+c\right)\) là \(cx^3\).
So sánh hai vế của ta suy ra: \(c=0\).
Vì vậy:
\(x^4+ax^2+bx+a+b\)\(=x\left(x^3+ax+b\right)\)\(=x^4+ax^2+bx\).
So sánh hai vế suy ra: \(a+b=0\).
Thử lại nếu \(a+b=0\), ta có:
\(x^4+x^3+ax^2+\left(a+b\right)x+2b+a\)
\(=x^4+x^3+ax^2+b\)
\(=x^4+ax^2-ax+x^3+ax+b\)
\(=x^4+ax^2+bx+x^3+ax+b\) (do \(a=-b\) )
\(=x\left(x^3+ax+b\right)+\left(x^3+ax+b\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^3+ax+b\right)\).
Như vậy \(a+b=0\) thỏa mãn bài toán.
câu c:\(x^4+ax^3+bx-1\) \(=\left(x^4-1\right)+\left(ax^3+bx\right)\)
Nhận thấy \(x^4-1=\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)\) chia hết cho \(x^2-1\).
Nên \(x^4+ax^3+bx-1\) chia hết cho \(x^2-1\) thì: \(ax^3+bx\) chia hết cho \(x^2-1\).
Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức ta được:
\(ax^3+bx=\left(x^2-1\right).ax+\left(a+b\right)x\).
vậy \(x^4+ax^3+bx-1\) chia hết cho \(x^2-1\) thì \(a+b=0\).
