Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình x²-(m+2)x+m=0 có hai nghiệm phân biệt x_1,x₂ sao cho \(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}>1\)

Answer 1

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4m=m^2+4>0\) pt luôn có 2 nghiệm pb

Để \(x_1;x_2\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}>1\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2>\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1x_2\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m-m^2>0\)

\(\Leftrightarrow2m+4>0\Rightarrow m>-2\)

Có \(10-\left(-1\right)+1-1=11\) giá trị nguyên của m thỏa mãn (loại \(m=0\))