Đặt \(f\left(x\right)=x^5+m\left(x^2-1\right)-6x\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\frac{m}{x^3}-\frac{6}{x^4}-\frac{m}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Với mọi giá trị của m thì luôn tồn tại một số \(p>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(p\right)>0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\frac{m}{x^3}-\frac{6}{x^4}-\frac{m}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Với mọi m luôn tồn tại một số \(q< 0\) đủ nhỏ sao cho \(f\left(q\right)< 0\)
\(f\left(1\right)=-5< 0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(p\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;p\right)\) hay \(\left(1;+\infty\right)\)
\(f\left(-1\right)=5>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;1\right)\)
\(f\left(-1\right).f\left(q\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(q;-1\right)\) hay \(\left(-\infty;-1\right)\)
Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm phân biệt
