Question

Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:

\(acos2x+bsinx+cosx=0\)

Answer 1

Đặt \(f\left(x\right)=a.cos2x+b.sinx+cosx\)

Hàm \(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên R

\(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{b\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{b\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{4}\right).f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(b+1\right)^2\le0\) ; \(\forall a;b;c\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right]\) hay pt đã cho luôn có nghiệm