Mình bổ sung đề nha:
CMR : nếu x3 + y3 + z3 = 3xyz thì x = y = z hoặc x + y + z = 0
Giải:
Ta có: x3 + y3 + z3 = 3xyz
=> x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> (x3 + y3) + z3 - 3xyz = 0
=> (x + y)3 - 3xy(x + y) + z3 - 3xyz = 0
=> [(x + y)3 + z3 ]- [3xy(x + y) + 3xyz] = 0
=> (x + y + z)[(x+y)2 - (x+y)z + z2 ] - 3xy(x+y+z) = 0
=> (x + y +z)(x2 + y2 +z2 - xy - yz - zx) = 0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{matrix}\right.\)
Xét x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0, nhân 2 vào 2 vế ta có:
2x2 + 2y2 +2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0
=> (x2 -2xy+ y2 )+(y2 - 2yz + z2) +(z2 - 2zx + x2) = 0
=> (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
Vì (x - y)2\(\ge\) 0 với mọi x, y
(y-z)2 \(\ge\) 0 với mọi y,z
(z-x)2 \(\ge\) 0 với mọi z,x
Vậy để (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z\)
Vậy ta có đpcm
