Question

CMR : n^3 -3n^2 - n +3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n

Answer 1

Ta có : \(n^3-3n^2-n+3=n^2.\left(n-3\right)-\left(n-3\right)=\left(n-3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)Vì n là số nguyên lẻ nên n có dạng 2k +1 ( n \(\in N\)*)

Thay n = 2k + 1 vào ta có :

\(\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-1\right)=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)2k=2\left(k-1\right).2\left(k+1\right).2k=8.k.\left(k-1\right).\left(k+1\right)⋮8\)

Mà \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮2\)

\(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮3\)

=> \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮6\)

=> \(8.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮48\)