Question

CMR a = b = c

a, ( a + b + c)^2 = 3( a^2 + b^2 + c^2)

b, ( a - b)^2 + ( b - c)^2 + (c - a)^2 + 4(ab + bc + ca) = 4( a^2 + b^2 + c^2)

Answer 1

Lời giải:

a)

$(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2$

$\Rightarrow a=b=c$ (đpcm)

b)

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4(ab+bc+ac)=4(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2+4(ab+bc+ac)=4(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)=4(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

Tương tự như phần a ta có đpcm.

Answer 2

Lời giải:

a)

$(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2$

$\Rightarrow a=b=c$ (đpcm)

b)

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4(ab+bc+ac)=4(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2+4(ab+bc+ac)=4(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)=4(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

Tương tự như phần a ta có đpcm.