Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lebenslehre

Chuyên mục: BĐT Toán học #1

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 3 GP.

Question: Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(ab+bc+ac\ge6\) . Tìm GTNN của biểu thức :

\(P=\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}+\dfrac{2b^3+3c^3}{b+4c}+\dfrac{2c^3+3a^3}{c+4a}\)

_Xin phép các CTV, tớ để nó ở CHH cho các bạn cùng thử sức, xem như một cách vực dậy box Toán :>

_Có nhiều cách nên các bạn làm sau chính xác vẫn được phần thưởng nhé.

#GudLuck#

Hung nguyen
8 tháng 11 2018 lúc 9:26

Không biết làm

Unruly Kid
8 tháng 11 2018 lúc 18:37

\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)

\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)

GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
9 tháng 11 2018 lúc 4:28

Keys:

_Dùng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel.

_Biến đổi tương đương

+ Coi a = b = c, khi đó

\(A=\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}=\dfrac{5a^3}{5a}=a^2\)

Vậy ta cần c/m \(A\ge ab\) (a=b=c)

\(\Rightarrow\) \(2a^3+3b^3-ab\left(a+4b\right)\ge0\)

Giải:

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow2a^3+3b^3-a^2b-4ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^3+3a^2b-4a^2b-6ab^2+2ab^2+3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì a,b > 0 \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

\(\Rightarrow2a^3+3b^3\ge ab\left(a+4b\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}\ge ab\)

Tương tự, ta có : \(P\ge ab+bc+ca=6\)

Vậy \(Min_P\) = 6 \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}\)

tthnew
5 tháng 1 2020 lúc 10:25

Biến đổi tương đương à:) Để em:)

Hướng suy nghĩ:

Để ý đẳng thức: \(\frac{2a^3+3b^3}{a+4b}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{\left(a-b\right)^2\left(3a+2b\right)}{2\left(a+4b\right)}\) và điểm rơi tại \(a=b=c=\sqrt{2}\rightarrow P=6\)

Ta sẽ chứng minh nó là GTNN tức là chứng minh \(P\ge6=ab+bc+ca\)

Giải

Từ hướng suy nghĩ bên trên:

\(P-\left(ab+bc+ca\right)=\left(\Sigma a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)+\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(3a+2b\right)}{2\left(a+4b\right)}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+3b\right)}{a+4b}\ge0\)

Vậy \(P\ge\left(ab+bc+ca\right)=6\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)

P/s: Chị tổ chức chuyên mục lại đi!

Khách vãng lai đã xóa
Kiêm Hùng
8 tháng 11 2018 lúc 15:05

Hãy đợi chiều này nhé

Đỗ Thanh Hải
8 tháng 11 2018 lúc 17:04

Trước lm rồi giờ quên sạch lun

Trần Minh Hoàng
8 tháng 11 2018 lúc 18:12

Nhìn 3 câu tl, tưởng mn lm dc nhiều lắm. Ai dè...

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
8 tháng 11 2018 lúc 20:45

Còn cách biến đổi tương đương nhé :>

P/s: Hướng làm ở trên rồi, nhanh tay lấy 2 GP còn lại nào :>

Eren
8 tháng 11 2018 lúc 21:51

\(P\ge\Sigma\dfrac{\sqrt{2a^3.3b^3}}{\sqrt{4ab}}=\Sigma\sqrt{\dfrac{3}{2}}ab\ge\sqrt{\dfrac{3}{2}}.6=3\sqrt{6}\)

Có gì đó sai sai lolang


Các câu hỏi tương tự
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết