Question

Chuyên mục: BĐT Toán học #2

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 3 GP.

Question: Cho \(a,b>0\) và \(a+b\le1\).Tìm GTLN của biểu thức:
\(A=\dfrac{a^2b^2}{a^4b^2+a^2b^4+a^2+b^2}\)

_Sau phản hồi ''không mấy tích cực'' ở Quiz trước, độ khó phần này đã giảm bớt.

#Nothing_is_impossible

#GudLuck

Answer 1

45782422_308896776597379_7259510326796746752_n.png (1366×768)

Answer 2

Nếu bạn thấy từ max làm cho bạn bị giới hạn về khả năng. Tìm giá trị lớn nhất làm cho bạn thấy khó chịu. Không sao. Bạn có thể chuyển qua tìm min cho bài này:

1/A = a² + b² + (1/a²) + (1/b²)

Answer 3

Cmt cho có thông báo :)))

Answer 4

Sử dụng BĐT Cauchy, ta có

\(A\le\dfrac{a^2b^2}{4\sqrt[4]{a^4b^2.a^2b^4.a^2.b^2}}=\dfrac{a^2b^2}{4a^2b^2}=\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Answer 5

hừm

tui thích cách đăng bài của bn đấy

Answer 6

Giảm bớt phần Tiếng Việt, thay bằng Tiếng Anh một số và tăng độ khó.

Answer 7

Vậy A_Max = 2/17 <=> a = b = 1/2

Đay là cách không dùng bất kỳ BĐT nào !

Answer 8

Lần này Cô-si ở mẫu chắc không sao đâu nhỉ :))

Answer 9

\(A\le\dfrac{a^2b^2}{4\sqrt[4]{a^4b^2.a^2b^4.a^2.b^2}}=\dfrac{a^2b^2}{4a^2b^2}=\dfrac{1}{4}\)

Nhưng dấu "=" không xảy ra nên \(A< \dfrac{1}{4}\)

Rồi sao nữa ta

Answer 10

\(A=\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2}=\dfrac{a^2b^2}{\left(a^2b^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)}\le\dfrac{a^2b^2}{2\left(a^2b^2+1\right)ab}=\dfrac{ab}{2a^2b^2+2}\) (bđt Cô-si)

=> \(2A\le\dfrac{ab}{a^2b^2+1}=\dfrac{ab}{\left(a^2b^2+\dfrac{1}{16}\right)+\dfrac{15}{16}}\le\dfrac{ab}{\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{15}{16}}\)

(bđt Cô-si)

=> \(A\le\dfrac{ab}{ab+\dfrac{15}{8}}=\dfrac{ab+\dfrac{15}{8}}{ab+\dfrac{15}{8}}-\dfrac{\dfrac{15}{8}}{ab+\dfrac{15}{8}}=1-\dfrac{15}{8ab+15}\le1-\dfrac{15}{2\left(a+b\right)^2+15}=1-\dfrac{15}{17}=\dfrac{2}{17}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = \(\dfrac{1}{2}\)

Liệu đây có được coi là cách mới không ta ?