Question

Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a)x²+x+1 b)x²+2x+2

Answer 1

Lời giải:

a)

Ta có: \(x^2+x+1=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=x(x+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})+\frac{3}{4}\)

\(=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)

Vì \((x+\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\)

Như vậy \(x^2+x+1\neq 0, \forall x\in\mathbb{R}\), tức là đa thức không có nghiệm.

b)

\(x^2+2x+2=x^2+x+x+1+1=x(x+1)+(x+1)+1=(x+1)^2+1\)

Vì \((x+1)^2\ge 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0, \forall x\in\mathbb{R}\)

Như vậy \(x^2+2x+2\neq 0, \forall x\in\mathbb{R}\), tức là đa thức không có nghiệm.