Question

Chứng Minh x²+2y²-2xy+2x-4y+3>0 với mọi số thực x,y

Answer 1

\(x^2+2y^2-2xy+2x-4y+3\)

\(=x^2+y^2+y^2-2xy+2x-2y-2y^2+1+1+1\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(2x-2y\right)+1+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1+\left(y-1\right)^2+1\)

\(=\left[\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1\right]+\left(y-1\right)^2+1\)

\(=\left(x-y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)

Nên \(\left(x-y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1>0\forall x;y\)

Vậy \(x^2+2y^2-2xy+2x-4y+3>0\forall x;y\)

Answer 2

Ta có: x²+2y²-2xy+2x-4y+3 = (x² +y² +1 - 2xy + 2x - 2y) + (y²-2y+1) +1 = (x-y+1)² + (y-1)² + 1 Vì (x-y+1)² ≥ 0 với mọi x,y ∈ R (y-1)² ≥ 0 với mọi y ∈ R ⇔ (x-y+1)² + (y-1)² ≥ 0 với mọi x,y ∈R ⇔ (x-y+1)² + (y-1)² +1 ≥ 1 > 0 với mọi x,y ∈R Vậy x²+2y²-2xy+2x-4y+3 > 0 với mọi x,y ∈ R.