Question

Chứng minh với mọi a, b ta có:

a) a² + b² + 1 ≥ ab + a + b

b) a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

Answer 1

a)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b=1\)

b) \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b\)