Question

Chứng minh: tanx < \(\dfrac{4}{\pi}x,\forall x\in\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Answer 1

VD1 : tanx≤4xπ∀x∈[0;π4]tanx≤4xπ∀x∈[0;π4]

Xét f(x)=tanx−4xπf(x)=tanx−4xπ

f′(x)=tan2x+1−4πf′(x)=tan2x+1−4π

f′′(x)=2tanx.1cos2x>0∀x∈[0;π4]f″(x)=2tanx.1cos2x>0∀x∈[0;π4]

Suy ra pt f′(x)=0f′(x)=0 có không quá 1 nghiệm thuộc [0;π4][0;π4]

Do đó f(x) đạt giá trị lớn nhất tại cực biên là khi x=0x=0 hoặc x=π4x=π4.

thay vào ta có max[0;π/4]f(x)=0max[0;π/4]f(x)=0

f(x)≤0⇔tanx≤4xπ∀x∈[0;π4]