Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(tanx > x (0 < x < \dfrac{\pi}{2})\)                              

b) \(tanx > x + \dfrac{x^3}{3} (0 < x < \dfrac{\pi}{2})\)

 

Answer 1

a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0 ; ).

Ta có : y’ = - 1 ≥ 0, x ∈ [0 ; ); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; ).

Từ đó ∀x ∈ (0 ; ) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x - . với x ∈ [0 ; ).

Ta có : y’ = - 1 - x² = 1 + tan²x - 1 - x² = tan²x - x²

= (tanx - x)(tanx + x), ∀x ∈ [0 ; ).

Vì ∀x ∈ [0 ; ) nên tanx + x ≥ 0 và tanx - x >0 (theo câu a).

Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; ).

Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; ). Từ đó : ∀x ∈ [0 ; ) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x - > tan0 - 0 - 0 = 0 hay tanx > x + .