$$S = \sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{25}>75$$Ta nhóm các số hạng lại và so sánh mỗi nhóm với căn bậc hai của số chính phương nhỏ nhất trong nhóm đó.1. Phân chia và ước lượngTa chia tổng $S$ thành 5 nhóm:Nhóm 1: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$$\sqrt{1}=1$. Vì $2>1$ và $3>1$ nên $\sqrt{2}>1$ và $\sqrt{3}>1$.$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3} > 1+1+1 = \mathbf{3}$$Nhóm 2: $\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{8}$ (Có 5 số hạng)Số nhỏ nhất là $\sqrt{4}=2$.Tất cả các số hạng đều lớn hơn hoặc bằng 2.$$\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{8} > 5 \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = \mathbf{10}$$Nhóm 3: $\sqrt{9}+\sqrt{10}+...+\sqrt{15}$ (Có 7 số hạng)Số nhỏ nhất là $\sqrt{9}=3$.Tất cả các số hạng đều lớn hơn hoặc bằng 3.$$\sqrt{9}+\sqrt{10}+...+\sqrt{15} > 7 \times \sqrt{9} = 7 \times 3 = \mathbf{21}$$Nhóm 4: $\sqrt{16}+\sqrt{17}+...+\sqrt{24}$ (Có 9 số hạng)Số nhỏ nhất là $\sqrt{16}=4$.Tất cả các số hạng đều lớn hơn hoặc bằng 4.$$\sqrt{16}+\sqrt{17}+...+\sqrt{24} > 9 \times \sqrt{16} = 9 \times 4 = \mathbf{36}$$Nhóm 5: $\sqrt{25}$ (Có 1 số hạng)$$\sqrt{25} = \mathbf{5}$$2. Cộng các ước lượngCộng các bất đẳng thức trên lại, ta có:$$S > 3 + 10 + 21 + 36 + 5$$$$S > 75$$Vì trong mỗi nhóm (trừ nhóm $\sqrt{25}$), có ít nhất một số hạng lớn hơn hẳn giá trị được dùng để so sánh (ví dụ: $\sqrt{2} > 1$ hay $\sqrt{5} > 2$), nên tổng $S$ chắc chắn lớn hơn tổng các ước lượng (75).Vậy:$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{25} > 75$$
