Question

Chứng minh rằng: \(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\) với mọi n \(\in\) N^*

Answer 1

\(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)

\(=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+12n+6n^2+8\)

\(=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(=3\left(n^3+5n\right)+9\left(n^2+1\right)\)

Ta thấy \(n^3+5n=n^3-n+6n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+6n\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\) và \(6n⋮3\) với n nguyên

\(\Rightarrow n^3+5n⋮3\Rightarrow3\left(n^3+5n\right)⋮9\)

Mà \(9\left(n^2+1\right)⋮9\forall n\in Z\) nên \(3\left(n^3+5n\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9\)

Hay \(A⋮9\) (đpcm)