Question

Chứng minh rằng: \((3^{n+1}-2.2^n)\left(3.3^n+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(8.2^{n-2}.3^{n+1}\right)^2\) là một số chính phương với mọi số tự nhiên n.

Answer 1

Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$

Ta viết lại biểu thức thành:

\(A=(3^{n+1}-2^{n+1})(3^{n+1}+2^{n+1}).3^{2(n+1)}+(2^{n+1}.3^{n+1})^2\)

Đặt \(3^{n+1}=a; 2^{n+1}=b\Rightarrow A=(a-b)(a+b)a^{2}+(ba)^2\)

\(=(a^2-b^2)a^2+a^2b^2=a^4=(a^2)^2\)

Do đó biểu thức đã cho là một số chính phương.

Ta có đpcm.