Question

BT1 :Cho n là số nguyên không chia hết cho 3 . Cmr:

\(\left(3^{2n}+3^n+1\right)⋮13\)

Answer 1

Vì n không chia hết cho 3 nên n có dạng \(3k+1;3k+2\) \(\left(k\in N\right)\)

TH1 : Với n có dạng \(3k+1\) thì :

\(3^{2n}+3^n+1=3^{2\left(3k+1\right)}+3^{3k+1}+1=9^{3k+1}+3^{3k+1}+1\)

\(=729^k.9+27^k.3+1=729^k.9-9+27^k.3-3+13\)

\(=9\left(729^k-1\right)+3\left(27^k-1\right)+13\)

Ta có : \(729^k-1⋮728⋮13\forall k\in N\) và \(27^k-1⋮26⋮13\forall k\in N\)

\(\Rightarrow9\left(729^k-1\right)+3\left(27^k-1\right)+13⋮13\)

Hay \(3^{2n}+3^n+1⋮13\)

TH2 : tương tự với n = 3k + 2