Question

Chứng minh:

​a) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

b) \(\frac{x^2}{x^4+1}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

a/\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+x+1\right)\ge0\)(luôn đúng)

=> đpcm

b/\(\frac{x^2}{x^4+1}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{x^2}{x^4+1}-\frac{1}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2}{2\left(x^4+1\right)}-\frac{x^4+1}{2\left(x^4+1\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x^4-1\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(x^2-1\right)^2\le0\) (luôn đúng)

=> đpcm

Answer 2

a, áp dụng BTĐ cosi cho 4 số dương:

\(x^4+x^4+x^4+y^4\ge4\sqrt{x^4.x^4.x^4.y^4}=4x^3y\) (1)

\(y^4+y^4+y^4+x^4\ge4\sqrt{y^4.y^4.y^4.x^4}=4y^3x\) (2)

cộng (1) và (2) => 4x⁴ + 4y⁴ ≥ 4x³y + 4y³x

chia cả hai vế cho 4 => x⁴ + y⁴ ≥ x³y + y³x (đpcm)

Answer 3

Chỉ cần biến đổi tương đương:

a/ \(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi x;y)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

b/ Do \(x^4+1>0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow2x^2\le x^4+1\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\pm1\)