Question

Chứng minh 2n+1 và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

 

Answer 1

Gọi (2n+1, n+1) = d (d thuộc N*)

\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n+2⋮d\end{matrix}\right.⇒⎩⎪⎨⎪⎧​2n+1⋮dn+1⋮d​⇒⎩⎪⎨⎪⎧​2n+1⋮d2n+2⋮d​

\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d⇒(2n+2)−(2n+1)⋮d

\Rightarrow2n+2-2n-1⋮d⇒2n+2−2n−1⋮d

\Rightarrow1⋮d⇒1⋮d

Mà d thuộc N*

nên d = 1

=> (2n+1, n+1) = 1

=> 2n + 1 và n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau  (đpcm)

Answer 2

Gọi (2n+1, n+1) = d (d thuộc N*)

\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n+2⋮d\end{matrix}\right.⇒⎩⎪⎨⎪⎧​2n+1⋮dn+1⋮d​⇒⎩⎪⎨⎪⎧​2n+1⋮d2n+2⋮d​

\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d⇒(2n+2)−(2n+1)⋮d

\Rightarrow2n+2-2n-1⋮d⇒2n+2−2n−1⋮d

\Rightarrow1⋮d⇒1⋮d

Mà d thuộc N*

nên d = 1

=> (2n+1, n+1) = 1

=> 2n + 1 và n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau  (đpcm