Question

Chophươngtrình x^2+3𝑥+𝑚−2=0

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn 𝑥1^2+ 𝑥2^2 = 8

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn 𝑥1^2− 𝑥2^2 = 6

Answer 1

a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>\(\Delta=\) \(3^2-4.\left(m-2\right)\)

= 9 - 4m + 8 = 17 - 4m > 0

<=> 4m < 17

<=> m < \(\frac{17}{4}\)

Lại có: \(x_1^2+x_2^2=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_2=8\) (1)

Áp dụng hệ thức Vi -ét có:

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-3\\P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=m-2\end{matrix}\right.\)

(1) <=> \(\left(-3\right)^2-2.\left(m-2\right)=8\)

<=> 9 - 2m + 4 = 8

<=> -2m = 8-13 = -5

<=> m =\(\frac{5}{2}\)( thỏa mãn)

Answer 2

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

<=> m < \(\frac{17}{4}\) (chứng minh trên câu a)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-3\left(1\right)\\P=x_1.x_2=m-2\left(2\right)\\x_1^2-x_2^2=6\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=6\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Thay (1) vào (3) được: \(\left(-3\right).\left(x_1-x_2\right)=6\)

<=> \(x_1-x_2=\frac{6}{-3}=-2\) (4)

Lấy (1) -(4) được : \(x_1+x_2-x_1+x_2\) = -1

<=> 2\(x_2=-1\)

<=> \(x_2=\frac{-1}{2}\)

=> \(x_1=\) \(\frac{-5}{2}\)

Thay vào phương trình (2) có : \(x_1.x_2=m-2\Leftrightarrow\frac{-1}{2}.\frac{-5}{2}=\frac{5}{4}=m-2\)

<=> m = \(\frac{5}{4}-2=\frac{-3}{4}\) ( thỏa mãn)