Question

cho xyz=1 và \(x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

CM rằng trog 3 số x,y,z có ít nhất một số bằng 1

Answer 1

Lời giải:

Sử dụng điều kiện \(xyz=1\):

\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow \left(x-\frac{1}{x}\right)+(y+z)-\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2-1}{x}+(y+z)-\frac{(y+z)}{yz}=0\)

\(\Leftrightarrow yz(x^2-1)+(y+z)-x(y+z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(xyz+yz)-(y+z)(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(1+yz)-(y+z)(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(yz+1-y-z)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\)

Nghĩa là ít nhất một trong ba số có giá trị bằng 1 (đpcm)