Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Big City Boy

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\). CM: \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le1\)

Nguyễn Trọng Chiến
7 tháng 3 2021 lúc 16:04

Áp dụng bđt phụ \(\dfrac{1}{A+B}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}\right)\forall A,B>0\)

\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\) Tương tự: \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=1\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Trần Hữu Tuyển
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Đào Thị Huyền
Xem chi tiết
Goku Untral Instict
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
♉ⓃⒶⓂ๖P๖S๖Pツ
Xem chi tiết