Question

cho x,y,z>0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm GTNN của P = \(x^2+y^2+2z^2\)

Answer 1

Lời giải:

Với bài toán này ta sử dụng pp tìm điểm rơi, rồi áp dụng BĐT AM-GM

Ta có:

\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}y^2\geq 2.\frac{\sqrt{5}-1}{2}xy=(\sqrt{5}-1)xy\)

\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}x^2+z^2\geq 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}xz=\sqrt{6-2\sqrt{5}}xz=(\sqrt{5}-1)xz\)

\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}y^2+z^2\geq 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}yz=\sqrt{6-2\sqrt{5}}yz=(\sqrt{5}-1)yz\)

Cộng các BĐT trên theo vế rồi rút gọn:

\(\Rightarrow x^2+y^2+2z^2\geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+xz)=\sqrt{5}-1\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{5}-1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{5}}}z\)