Question

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\)

Answer 1

\(M=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{16}{z}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{4^2}{z}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{1}{16}\dfrac{\left(1+2+4\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{49}{1}=\dfrac{49}{16}\)

\(\Rightarrow M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{4}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{2}{7}\\z=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)