Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Huy Tú

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\)

Otasaka Yu
29 tháng 1 2018 lúc 10:59

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\z+y\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}\ge\dfrac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}}{2\sqrt{xz}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}\ge2y\) (1)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}\ge2z\left(2\right)\\\dfrac{\left(y+x\right)\left(z+x\right)}{z+y}\ge2x\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1),(2),(3)

\(\Rightarrow P\ge2x+2y+2z\)

\(\Rightarrow P\ge2.3\)

\(\Rightarrow P\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(x=y=z\)

Vậy Min P là 6 khi \(x=y=z\)

Lightning Farron
29 tháng 1 2018 lúc 16:45

Otasaka Yu: Cosi nhưng đừng là ở dưới đó.... (it's same some mô típ i've read and seen Manga and Anime Japan ( ͡° ͜ʖ ͡°))

\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{x+z}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{x+y}\ge2\sqrt{\left(y+z\right)^2}=2\left(y+z\right)\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\(2P\ge2\left(x+y+z\right)\Leftrightarrow P\ge x+y+z=3\)

\("=" <=> x=y=z=1\)

It's A jOke. DoN't TriGgeRed my dude !

Nguyễn Anh Tuấn
30 tháng 1 2018 lúc 20:50

anh Tú ơi cái này là em hỏi mẹ em để giải giúp anh đấy

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\ge2\left(x+y\right)\)

\(\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\ge2\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow2P\ge4\left(x+y+z\right)=4\times3=12\)

\(\Rightarrow P\ge6\)

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 , xảy ra khi và chỉ khi

\(x=z=y=1\)

Phạm Ngọc Ánh
29 tháng 1 2018 lúc 11:47

bạn cứ áp dụng tính chất dãy tỉ sô bằng nhau đi


Các câu hỏi tương tự
:vvv
Xem chi tiết
Le Chi
Xem chi tiết
Dưa Trong Cúc
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Núi non tình yêu thuần k...
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết