Trước hết\(,\,\)theo một hệ quả quen thuộc của AM-GM:
\(4=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\therefore xyz(x+y+z) \leq \frac{4}{3}\)
Vì vậy: \(A\ge\frac{18}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{2}+\frac{4}{\frac{8}{3}}=6\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa x2+y2+z2=1. CMR:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\le3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
1, cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:x+y+z=9
Tìm GTNN của biểu thức: S=\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)
cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2=xyz\)
Tìn GTLN của \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2020
Chứng minh: \(\dfrac{2020}{x^2+y^2}+\dfrac{2020}{y^2+z^2}+\dfrac{2020}{z^2+x^2}\le\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\)
Cho x,y,z là các số thực dương, tìm GTNN của biểu thức
P=\(x^2+y^2+z^2+\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức:
S = \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3xyz. CMR: \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{3}{2}\)
cho 3 số thực x,y,z>0 thỏa mãn \(x+y+z\ge6\)
Tìm GTNN của \(P=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = 3xyz. Chứng minh rằng
\(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
