Question

cho x,y,z >0 và x+y+z=6. chứng minh rằng \(\text{8x + 8y + 8z}\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\) \(\)

Answer 1

Sửa đề:

Chứng minh rằng:

\(8x+8y+8z\le4^{x+1}+4^{y+1}+4^{y+2}\)

Ta có:

\(8x+8y+8z=8.\left(x+y+z\right)=8.6=48\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{x+1}.4^{y+1}.4^{z+1}}\)

\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{x+y+z+3}}\)

\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{6+3}}\)

\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^9}\)

\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3.64\)

\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge192\)(2)

Dấu "=" sảy ra khi \(x=y=z=2\).

Từ (1) và (2) suy ra:

\(8x+8y+8z\le4^{x+1}+4^{y+1}+4^{y+2}\)(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Answer 2

Đề gốc:\(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)