Question

1) Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng:

√x² + xy + y² + √y² + yz + z² + √z² + zx + x² ≥ (x + y + z)* √3

2) Cho a + b ≥ 0, chứng minh rằng:

(a + b)(a³ + b³)(a⁵ + b⁵) ≤ 4(a⁹ + b⁹)

Answer 1

Bài 1:

Ta có:

\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\)

\(=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}; \sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+z)}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT trên:

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Answer 2

Bài 2:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$4(a^9+b^9)-(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4(a+b)(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a+b)(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3a^8+3b^8+4a^6b^2+4a^2b^6+4a^4b^4-(4a^7b+4ab^7+5a^5b^3+5a^3b^5)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2-ab+b^2)(3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4)\geq 0$

BĐT trên luôn đúng vì:

$(a-b)^2\geq 0, \forall a,b$

$a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0, \forall a,b$

$3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4=3(a^4+b^4+2a^2b^2)+a^2b^2+5ab(a^2+b^2)$

$=3(a^2+b^2)^2+5ab(a^2+b^2)+a^2b^2$

$=(a^2+b^2)(3a^2+3b^2+5ab)+a^2b^2=(a^2+b^2)[3(a+\frac{5}{6}b)^2+\frac{11}{12}b^2]+a^2b^2\geq 0$ với mọi $a,b$

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $a+b=0$