Question

Cho x,y thỏa mãn : x>8y>0

Tìm min của P= x+\(\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)

Answer 1

Vì x>8y>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương

\(P=x+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}=\left(x-8y\right)+8y+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(x-8y\right).8y.\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}}=3\sqrt[3]{8}=6\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x-8y=8y=\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Answer 2

vì x>8y>0 nên x-8y>0

Ta có : P=\(x+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)= x-8y+8y+ \(\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)

ÁP dụng BĐT côsy cho 3 số dương dạng a+b+c\(\ge\) 3\(\sqrt[3]{abc}\) ta đc:

P \(\ge\)3\(\sqrt[3]{\left(x-8y\right).8y.\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}}\)\(\ge\) 3.2=6

Vậy Pmin=6 khi đó dấu "=" xẫy ra khi : \(x-8y=8y=\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)