Chương II - Hàm số bậc nhất

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngoc An Pham

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\dfrac{1}{x^2+xy+y}+\dfrac{4x^2y^2+1}{xy}\)

Akai Haruma
20 tháng 11 2018 lúc 21:51

Lời giải:

Ta có: \(P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+4xy+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{3xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{12xy}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)

\(4xy+\frac{1}{4xy}\geq 2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}=2(1)\)

\(\frac{5}{12xy}\geq \frac{5}{12.\frac{1}{4}}=\frac{5}{3}(2)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{3xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+3xy}=\frac{4}{(x+y)^2+2xy}=\frac{4}{1+2xy}\geq \frac{4}{1+2.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq \frac{8}{3}+2+\frac{5}{3}=\frac{19}{3}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{19}{3}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Etermintrude💫
Xem chi tiết
Ngô Nhất Khánh
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Trương Diệu Linh🖤🖤
Xem chi tiết
Hương Nguyễn Thị Thu
Xem chi tiết
Nguyễn Mi
Xem chi tiết
Ong Seong Woo
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Lâm Nhật Bảo Lam
Xem chi tiết