Question

Cho x+2y=5.

a, Tìm GTNN A=x²+y²

b, Tìm GTLN B=x.y

Answer 1

a/ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :

\(5^2=\left(1.x+2.y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow5A\ge25\Leftrightarrow A\ge5\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\begin{cases}x=\frac{y}{2}\\x+2y=5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\)

Vậy MaxA = 5 <=> (x;y) = (1;2)

b/ Áp dụng BĐT Cauchy : \(5=x+2y\ge2\sqrt{2xy}\Rightarrow xy\le\frac{25}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\begin{cases}x=2y\\x+2y=5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=\frac{5}{4}\end{cases}\)

Vậy MaxA = 25/8 <=> (x;y) = (5/2;5/4)