Question

Cho x² +y² =1 là hai số thực thỏa mãn . Gọi M,n là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{2-2xy+y^2}{4x^2-3xy+y^2}\) . Tính giá trị n²+M²

làm ơn giúp em vs ạ em cảm ơn

Answer 1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=cosa\end{matrix}\right.\)

\(P=\frac{2-2sina.cosa+cos^2a}{4sin^2a-3sina.cosa+cos^2a}=\frac{2-sin2a+\frac{1+cos2a}{2}}{1+\frac{3\left(1-cos2a\right)}{2}-\frac{3}{2}sin2a}=\frac{5-2sin2a+cos2a}{5-3cos2a-3sin2a}\)

\(\Leftrightarrow3P-3P.cos2a-3P.sin2a=5-2sin2a+cos2a\)

\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)sin2a+\left(3P+1\right)cos2a=5P-5\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(5P-5\right)^2\le\left(3P-2\right)^2+\left(3P+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow7P^2-44P+20\le0\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}M+n=\frac{44}{7}\\Mn=\frac{20}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M^2+n^2=\left(M+n\right)^2-4Mn=\frac{1376}{49}\)