Question

Cho x>0, y>0, tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(Q=\dfrac{\left(x+y+2\right)^2}{xy+2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+2\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)

Answer 1

Với \(x=y=2\) thì \(Q=\dfrac{10}{3}\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{10}{3}\) là GTNN của \(Q\)

Thật vậy: \(\dfrac{\left(x+y+2\right)^2}{xy+2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+2\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\ge\dfrac{10}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-xy-2x+y^2-2y+4\right)\left(3x^2+5xy+10x+3y^2+10y+12\right)}{3\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\left(2x-y-2\right)^2+3\left(y-2\right)^2\right)\left(3x^2+5xy+10x+3y^2+10y+12\right)}{12\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}\ge0\)

BĐT cuối đúng với \(x;y>0\)

Vậy \(Q_{Min}=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow x=y=2\)