Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow1\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)
Vậy GTNN của \(K=\dfrac{1}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Cách 2 :
Theo BĐT Cô si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)
Vậy GTNN của \(K=\dfrac{1}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Cách khác :
Áp dụng BĐT : \(\left(a-b\right)^2\) ≥ 0 ∀ab ⇔ \(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\)
Ta có : \(x^2+y^2\) ≥ \(2xy\) ; \(y^2+z^2\) ≥ \(2yz\) ; \(z^2+x^2\) ≥ \(2xz\)
⇒ \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\) ≥ \(2\left(xy+yz+xz\right)\)
⇔ \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\) ≥ \(\left(x+y+z\right)^2\)
⇔ \(x^2+y^2+z^2\) ≥ \(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
⇒ \(K_{Min}=\dfrac{1}{3}\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
