Đại số lớp 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
mai

Cho x, y, z >0. Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\)

Kuro Kazuya
24 tháng 3 2017 lúc 23:59

\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\)

\(P=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\) ( 1 )

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{3}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+zy}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)

Lightning Farron
24 tháng 3 2017 lúc 19:04

bài này \(P\ge\dfrac{3}{2}\) là BĐT Nesbitt có vô vàn cách c/m BĐT này từ cách cấp 1-> cấp 3 bn cần thì IB

còn đây là cách c/m tổng quát có thể áp dụng cho mọi bài cả bài này Here


Các câu hỏi tương tự
Anhẻ luu
Xem chi tiết
Mai Thanh Tâm
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Nguyễn Huế Anh
Xem chi tiết
Trần Thị Thùy Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Viết Thắng
Xem chi tiết
Quỳnh Hoa Lenka
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết