Question

Cho x, y thuộc Q

\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)

Chứng tỏ xy + 1 là bình phương của một số hữu tỷ

Answer 1

Coi như biểu thức xác định

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy-2+\frac{\left(xy+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(xy+1\right)+\frac{\left(xy+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+1\right)^2-2\left(xy+1\right)\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)^4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+1-\left(x+y\right)^2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow xy+1-\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\) (đpcm)