Question

Cho x, y là 2 số dương và x+y=1. Tìm GTNN của:

M=\(\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}\)

Help me!!!

Answer 1

\(\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{4}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{x^2+y^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(2+2\right)^2}{x^2+y^2+2xy}-\dfrac{1}{x^2+y^2}=16-\dfrac{1}{x^2+y^2}\)

\(=16-\dfrac{2}{2\left(x^2+y^2\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=14\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

Cách khác

Đặt xy=t

\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=1-2t\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{1-2t}\)

\(M=\dfrac{2-4t+3t}{t-2t^2}=\dfrac{2-t}{t-2t^2}\)(đến đây dùng phương pháp delta)