a/ ta có BD;EC là đường cao của tam ABC
=> \(BD\perp AC;AE\perp AB\)
Hay \(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\left(=90^o\right)\)
tứ giác BEDC có: \(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\left(=90^o\right)\) mà 2 góc này ở vị trí đối nhau cùng nhìn cạnh BC
=> tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn
gọi O là trung điểm của BC(O thuộc BC) => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC
b/ tứ giác AEHD có : \(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^o\) (vì\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\) )
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn(đpcm)
c/nối OE;OD
tam giác EOD có: OE=OD=R
=> tam giác EOD cân tại O
=> đường trung tuyến OK đồng thời là đường cao
=> OK\(\perp ED\) (đpcm)
d/ta có tứ giác BEDC nội tiếp
=> \(\widehat{EBC}+\widehat{EDC}=180^o\)
=> \(\widehat{EBC}=180^o-\widehat{EDC}\) (1)
ta lai có: \(\widehat{ADE}+\widehat{EDC}=180^o\) (2 góc kề bù)
=>\(\widehat{ADE}=180^o-\widehat{EDC}\left(2\right)\)
từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{EBC}\)
xét tam giác ADE và tam giác ABC có
góc BAC chung
góc ADE = góc ABC (cmt)
=> tam giác ADE ~ tam giác ABC(g-g)
=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow AD.AC=AE.AB\left(đpcm\right)\)
