Question

cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn o, đường cao BD, CE cắt nhau tại H, AH cắt BC tại F, gọi M,N lần lượt là hình chiếu của B,C lên tiếp tuyến tại A của (o). Chứng minh 3 đường MD, NE, AH đồng quy

Answer 1

Gợi ý:

*MD cắt AH tại G.

Dễ dàng chứng minh các tam giác AMB, AFB, ADB nội tiếp đường tròn đường kính AB.

\(\Rightarrow\)5 điểm A,M,F,D,B nằm trên đường tròn.

Xét đường tròn \(\left(AMFDB\right)\) có: \(\widehat{ADM}=\widehat{ABM}\)

Xét (O) có: \(\widehat{BAM}=\widehat{ACB}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}+\widehat{BAM}=90^0\\\widehat{ACB}+\widehat{FAC}=90^0\end{matrix}\right.\) mà \(\widehat{BAM}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{FAC}\) \(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{FAC}\)

\(\Rightarrow\Delta AGD\) cân tại G. Từ đây có thể chứng minh dễ dàng G là trung điểm AH.

*NE cắt AH tại G'. Chứng minh tương tự G' là trung điểm AH.

\(\Rightarrow G\equiv G'\) nên MD,NE,AH đồng quy.