Question

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: ∆ABE ∽ ∆ACF, từ đó suy ra AB.AF = AC.AE.

b) Chứng minh: DB . DC = DA.DH

c) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông hóc với IH tại H cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: ∆AHN ∽ ∆BIH và H là trung điểm của MN.

Answer 1

a) ΔABE ∼ ΔACF ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\Rightarrow AB\cdot AF=AC\cdot AE\)

b) + \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^o\\\widehat{DAC}+\widehat{ECB}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{DAC}\)

+ ΔDBH ∼ ΔDAC ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{DB}{DH}=\frac{DA}{DC}\Rightarrow DA\cdot DH=DB\cdot DC\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HNE}+\widehat{EHN}=90^O\\\widehat{BHM}+\widehat{BHI}=90^O\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{HNE}=\widehat{BHI}\) ( Do \(\widehat{EHN}=\widehat{BHM}\) )

+ ΔAHN ∼ ΔBIH ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{HN}{AH}=\frac{IH}{BI}=\frac{IH}{CI}\)

+ Tương tự ta có : ΔAHM ∼ ΔCIH ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{HM}{AH}=\frac{IH}{CI}\)\(\Rightarrow\frac{HM}{AH}=\frac{HN}{AH}\)

=> HM = HN => H là truing điểm MN