Câu hỏi của wcdccedc

Question

Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H .

a, Chứng minh : Tam giác HED đồng dạng với tam giác HBC .

b, Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Và P , Q lần lượt là hình chiếu của...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

a)

Ta có : $\left\{\begin{matrix}
\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\

`\widehat{HEB}=\widehat{HDC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle EHB\sim \triangle DHC$

$\Rightarrow \frac{EH}{HB}=\frac{DH}{HC}\Leftrightarrow \frac{EH}{HD}=\frac{HB}{HC}$

Kết hợp với $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\Rightarrow \triangle EHD\sim \triangle BHC(c.g.c)$

Ta có đpcm.

b)

Theo phần a, $\triangle EHD\sim \triangle BHC\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{HBC}\Rightarrow 90^0-\widehat{HED}=90^0-\widehat{HBC} $

$\Leftrightarrow \widehat{DEA}=\widehat{DCB}$ . Mà $\widehat{DEA}=\widehat{PEB}\Rightarrow \widehat{PEB}=\widehat{DCB}$

Có $\left\{\begin{matrix}
\widehat{BPE}=\widehat{BDC}\

\widehat{PEB}=\widehat{DCB}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BPE\sim \triangle BDC\Rightarrow \frac{PE}{DC}=\frac{BE}{BC}(1)$

Tương tự $\triangle CDQ\sim \triangle CBE\Rightarrow \frac{DQ}{BE}=\frac{CD}{BC}(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow \frac{PE.BE}{DC.DQ}=\frac{BE}{DC}\Rightarrow \frac{PE}{DQ}=1\leftrightarrow PE=DQ$

c) Gọi $T\equiv HM\cap IK$

Ta có $\widehat{NAK}=\widehat{HBM}(=90^0-\widehat{ACB})(1)$

Xét tứ giác $HDKT$ có $\widehat{HDK}=\widehat{HTK}=90^0\Rightarrow \widehat{DKT}+\widehat{DHT}=180^0$

$\Leftrightarrow \widehat{AKN}=\widehat{DKT}=180^0-\widehat{DHT}=\widehat{MHB}(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow \triangle NAK\sim \triangle MBH\Rightarrow \frac{NK}{MH}=\frac{NA}{MB}$

Tương tự, $\triangle AIN\sim \triangle CHM\Rightarrow \frac{AN}{CM}=\frac{IN}{HM}$

Từ hai tỉ số trên suy ra  $1=\frac{CM}{BM}=\frac{NK}{IN}\Rightarrow NK=IN$

Vậy $N$ là trung điểm của $IK$Câu trả lời: Lời giải:

a)